Rechnen mit Strom

Einleitung

Konrad Zuse hat in den 1940er-Jahren den ersten Computer gebaut, welcher im Zweiersystem rechnet. Im folgende Video¹ sehen Sie Zuse in einem Film von 1958, wie er seine damaligen Computer vorstellt.

Darstellung von 0 und 1 im Computer

Wenn wir Menschen im Zweiersystem rechnen, dann verwenden wir die beiden Ziffern 0 und 1. Damit können wir beliebig grosse Zahlen aufschreiben und schriftlich rechnen, vorausgesetzt wir haben genügend Papier und Tinte. Natürlich brauchen wir auch unser Hirn und unseren Körper, um aktiv werden zu können.

Im Computer ist die Situation anders: Er arbeitet mit Strom. Sein "Papier" sind die elektrischen Leitungen in seinem Inneren. Ausserdem braucht er eine Stromquelle, z.B. eine Batterie. Der Strom (eigentlich die damit verbundenen elektrischen Ladungen) ist dann seine "Tinte". Damit der Computer aktiv werden kann braucht es schliesslich noch eine grosse Menge Schalter, welche sein "Gehirn" bilden.

Wir definieren nun folgendes:

• Ist eine Leitung mit dem positiven Pol der Stromquelle verbunden, so sagt man dass diese Leitung auf 1 gesetzt ist.
• Ist eine Leitung mit dem negativen Pol der Stromquelle verbunden, so sagt man dass diese Leitung auf 0 gesetzt ist.

Eine einzelne Leitung kann also zu einem bestimmten Zeitpunkt genau eine binäre Ziffer darstellen. Man spricht bei einer solchen Ziffer von einem Bit (englisch binary digit**). Dass heisst aber auch, dass für die Darstellung einer binären Zahl mit mehreren Ziffern für jede Ziffer eine separate Leitung benötigt wird.

Experiment

Führen Sie zur Illustration das 👉 Experiment 1 durch.

Schalter

Es wäre falsch sich für das Verständnis des Computers nur auf die Betrachtung von Leitungen zu beschränken. Genau so wichtig sind die Schalter, welche diese Leitungen ein und auschalten. Erst dadurch kann der Computer selbständig arbeiten und Zahlen miteinander verrechnen.

Die Schalter, welche man zum Bau eines Computers verwendet sind aber nicht gewöhnliche Schalter, welche von Hand betätigt werden. Stattdessen setzt man Schalter ein, welche durch Strom betätigt werden. In der Anfangszeit des Computers waren dies elektromagnetische Schalter, Relais genannt.

Relais

Experiment

Führen Sie das 👉 Experiment 2 durch.

Logische Grundoperationen

Jetzt, wo wir Leitungen und Schalter haben, stellt sich die Frage, wie man diese kombinieren muss, um z.B. zwei binäre Zahlen zu addieren. Um dieses Problem zu lösen, müssen wir uns zunächst mit den logischen Grundoperationen UND, ODER und NICHT beschäftigen. Im folgenden Video² sehen Sie eine Einführung dazu.

Wie diese logischen Grundoperationen mit Hilfe von Leitungen und Schalter realisiert werden können, erfahren Sie in den folgenden Abschnitten.

UND

Im Video wurde gezeigt, dass das Resultat der UND-Operation genau dann eine 1 ist, wenn an beiden Eingänge eine 1 liegt.

Wir können in einer Tabelle alle möglichen Kombinationen der Eingänge und das daraus resultierende Resultat am Ausgang festhalten. Eine solche Tabelle nennt man eine Wahrheitstabelle.

Eingang A	Eingang B	Ausgang E
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Experiment

Führen Sie nun das 👉 Experiment 3 durch um zu verstehen, wie man eine UND-Verknüpfung mit Leitungen und Schaltern bauen kann.

ODER

Bei der ODER-Operation ist der Ausgang genau dann auf 1, wenn mindestens einer der beiden Eingänge auf 1 gesetzt ist.

Die Wahrheitstabelle sieht folgendermassen aus:

Eingang A	Eingang B	Ausgang E
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Experiment

Führen Sie nun das 👉 Experiment 4 durch um zu verstehen, wie man eine ODER-Verknüpfung mit Leitungen und Schaltern bauen kann.

NICHT

Die NICHT-Operation hat nur einen Eingang. Der Ausgang zeigt immer das Gegenteil vom Eingang.

Die Wahrheitstabelle sieht folgendermassen aus:

Eingang A	Ausgang E
0	1
0	0

Hier brauchen wir kein weiteres Experiment, denn Sie haben im 👉 Experiment 2 bereits gesehen, wie man eine Schaltung für die NICHT-Verknüpfung bauen kann. Man muss einfach den Ausgang mit der gelben LED verwenden. Dieser zeigt immer das Gegenteil vom Eingang an.

Logische Gatter

Sie haben in den Experimenten die Schaltungen für UND, ODER und NICHT mit Relais nachgebaut, so wie das Zuse bei seinem Computer auch tun musste. Um komplexere Funktionen, bis hin zu einem vollständigen Computer, zu erhalten, muss man UND-, ODER- und NICHT-Schaltungen miteinander kombinieren. Zuse verwendete für seinen Computer Z4 ca. 2200 Relais.

Um hier den Überblick nicht zu verlieren, müssen wir mit Vereinfachungen oder Abstraktionen arbeiten. Wie wir zu diesen Vereinfachungen kommen zeigt der folgende Screencast:

Für die abstrahierten Schaltungen definieren wir Schaltsymbole, welche wir dann im Weiteren verwenden. Dabei sind wir uns bewusst, dass hinter jedem Schaltsymbol eigentlich eine Schaltung mit Relais (oder anderen Schalter) stehen. Wir sprechen ab jetzt auch von Logik-Gattern.

Im folgenden Video² lernen Sie die Schaltsymbole für UND, ODER und NICHT kennen.

Hier nochmals die drei Schaltsymbole für die logischen Grundoperationen:

Schaltsymbole für logische Grundoperationen

Beachten Sie den kleine Kreis am Ausgang des NICHT-Gatters. Wenn dieser fehlt, handelt es sich nicht um ein NICHT-Gatter. Ebenso das ≥-Zeichen beim ODER-Gatter.

Die EXOR-Operation (Entweder-Oder, Exclusive OR)

Mit den logischen Grundoperationen können wir nun beliebig komplexe Schaltungen bis hin zu einem fertigen Computer zusammenbauen. Der nächste Schritt ist eine Schaltung, welche folgende Wahrheitstabelle hat:

Eingang A	Eingang B	Ausgang E
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Es geht also wieder um eine Schaltung mit zwei Eingängen (A, B) und einem Ausgang (E).

Wie man eine solche Schaltung baut, erfahren Sie im folgenden Video².

Hier nochmals die Schaltung, sowie das Schaltsymbol für das EXOR-Gatter:

EXOR-Schaltung

Schaltsymbol für EXOR-Gatter

Beachten Sie den Unterschied zwischen den Symbolen für das ODER- und das EXOR-Gatter!

Experiment

Führen Sie nun das 👉 Experiment 5 durch um zu sehen, wie man ein EXOR-Gatter mit UND-, ODER- und NICHT-Gattern bauen kann.

Addieren mit Strom

Nun haben wir alle Grundlagen kennengelernt, welche nötig sind, um eine Schaltung zu bauen, die zwei binäre Zahlen mit mehreren Stellen addieren kann.

Als Ausgangspunkt nehmen wir die schriftliche Addition:

Schriftliche Addition von binären Zahlen

Dabei werden jeweils zwei Stellen der Zahlen A und B von rechts beginnend addiert. Das Resultat ist die entsprechende Stelle im Ergebnis E und ein Übetrag Ü auf die nächste Stelle. Die Überträge müssen bei den nächsten Stellen in die Addition einbezogen werden. In der hintersten Stelle hingegen muss man keinen Übetrag in die Addiition einbeziehen. Deshalb unterscheidet sich das weitere Vorgehen zwischen der hintersten Stelle und den restlichen Stellen.

Hinterste Stelle addieren - Der Halbaddierer

Wir betrachten zunächst die hinterste Stelle:

Schriftliche Addition hinterste Stelle

Isolierte Betrachtung

Wir benötigen also eine Schaltung, welche aus den beiden Eingängen A₀ und B₀ das Ergebnis E₀ erzeugt und eine andere Schaltung, welche aus den selben Eingängen den Übertrag Ü₀ erzeugt.

Als Wahrheitstabellen ausgedrückt bedeutet dies:

Eingang A0	Eingang B0	Ausgang E0
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Eingang A0	Eingang B0	Ausgang Ü0
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Beide Wahrheitstabellen haben wir schon angetroffen. Diejenige für das Ergebnis E₀ entspricht der EXOR-Operation, diejenige für den Übertrag Ü₀ entsprichte der UND-Operation.

Kombiniert man die beiden Operationen richtig, so entsteht ein Halbaddierer für eine Stelle. Im folgenden Video² wird diese Schaltung vorgestellt.

Hinweis: Im Video wird der Ausgang E mit S für Summe bezeichnet.

Hier nochmals die Schaltung des Halbaddierers und das Symbol, welches wir in den Simulationen an Stelle der Schaltung verwenden:

Schaltung für Halbaddierer (HA)

Symbol für Halbaddierer

Hinweis:

• C steht für englisch Carry und bedeutet Übertrag
• S steht für Summe

Experiment

Führen Sie nun das 👉 Experiment 6 durch um zu sehen, wie man mit einem EXOR- und einem UND-Gatter einen Halbaddierer bauen kann.

Weitere Einzelstellen addieren - Der Volladdierer

Für alle Stellen links von der hintersten Stelle müssen wir beim Addieren einen Übetrag berücksichtigen:

Schriftliche Addition zweithinterste Stelle (Stelle 1)

Isolierte Betrachtung und Verallgemeinerung auf Stelle n

Wir brauchen also eine Schaltung, welche 3 Eingänge hat: A_n, B_n, Ü_n-1.
Ü_n-1 entspricht dem Übertrag aus der Stelle rechts von Stelle n.

Eine solche Schaltung heisst Volladdierer und wird im folgenden Video² vorgestellt.

Hier nochmals die Schaltung des Volladdierers und das Symbol, welches wir in den Simulationen an Stelle der Schaltung verwenden:

Schaltung für Volladdierer (VA)

Symbol für Volladdierer

Hinweis:

• C steht für englisch Carry und bedeutet Übertrag
• S steht für Summe

Experiment

Führen Sie nun das 👉 Experiment 7 durch um zu sehen, wie man mit zwei EXOR-, zwei UND- und einem ODER-Gatter einen Volladdierer bauen kann.

Mehrstellige binäre Zahlen addieren

Wir sind fast am Ziel. Um zwei mehrstellige binäre Zahlen zu addieren müssen wir nun einen Halbaddierer für die hinterste Stelle mit mehreren Volladdierern für alle weiteren Stellen kombinieren. Das wird im folgenden Video² gezeigt.

Hier nochmals die Schaltung des Vier-Bit-Addierers:

Schaltung für 4-Bit-Addierer

Experiment

Führen Sie nun das 👉 Experiment 8 durch. Sie werden mehrere Volladdierer aus dem 👉 Experiment 7 zu einem Addierer für mehrstellige binäre Zahlen zusammenbauen.

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Footnotes

1. Quelle: 👉 https://www.youtube.com/watch?v=n8Yo-wD-QTo ↩

2. Quelle: 👉 https://www.youtube.com/@einfachinfo ↩ ↩² ↩³ ↩⁴ ↩⁵ ↩⁶